bantalmateri.com – Berharap kalian sudah membaca pada postingan sebelumnya mengenai Tips Cepat Belajar Metode Pembuktian Matematika ya. Hal tersebut supaya memhami tentang teori mengenai Metode Pembuktian Matematika dan juga bentuk penyelesaian dari setiap masalah. Secara ringkasnya, metode pembuktian matematika yang sudah dijelaskan sebelumnya mengenai metode pembuktian langsung, metode pembuktian tak langsung dan metode pembuktian dengan kontradiksi. Apabila kalian sudah membaca atau sudah memahami bentuk tersebut, mari kita berlanjut kepada subbab pada Metode Pembuktian berikut ini.
1. METODE PEMBUKTIAN
1.1. Bukti dengan Contoh Penyangkal
Misalkan diberikan pernyataan
Untuk setiap bilangan asli n ∈ N, n2 + n + 1 merupakan bilangan prima.
Kita diminta untuk memperlihatkan bahwa pernyataan ini tidak benar. Dalam kasus ini, kita cukup memperlihatkan bahwa ada bilangan asli sehingga n2 + n + 1 bukan bilangan prima. Untuk itu, ambillah n = 4 , maka n2 + n + 1 = 21 yang bukan merupakan bilangan prima. Bukti seperti ini disebut bukti dengan contoh penyanggah.
1.2. Membuktikan Pernyataan Ekivalen
Di dalam geometri ada dua aksioma utama seperti yang disebut berikut ini.
Axioma 1.1 Aksioma Euclid ke V
Jika dua garis dipotong garis transversal sehingga jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 180°, maka kedua garis berpotongan pada bagian tersebut.
Axioma 1.2 Aksioma kesejajaran Hilbert
Untuk sebarang garis l dan sebarang titik P di luar garis maka paling banyak ada satu garis melalui P dan sejajar l.
|
BACA JUGA:
|
|
Sifat 1.3 Dua aksioma tersebut ekivalen.
Untuk membuktikan Sifat 1.3 kita harus mengerjakan dua hal, yaitu
- Asumsikan bahwa Aksioma Euclid ke V benar, maka kita harus membuktikan bahwa aksioma kesejajaran Hilbert juga benar.
- Asumsikan bahwa Aksioma kesejajaran Hilbert benar, maka kita harus membuktikan bahwa aksioma Euclid ke V benar.
Sekarang kita asumsikan bahwa Aksioma Euclid ke V benar dan kita akan membuktikan bahwa aksioma kesejajaran Hilbert benar. Untuk itu dimulai dengan diketahui sebarang garis l dan titik P di luar garis l (lihat Gambar di bawah ini). (Kita awali bukan mulai dari Aksioma Euclid ke V, melainkan hipotesa dari Aksioma kesejajaran Hilbert).
Melalui P tarik garis tegak lurus ke l yaitu t. Melalui P ditarik garis tegak lurus t yaitu m. Dapat dibuktikan bahwa m sejajar l. Jadi, garis yang sejajar l melalui P ada. Sekarang kita buktikan bahwa setiap garis melalui P dan berbeda dengan m haruslah memotong l. Tarik garis melalui P, misalkan n. Karena berbeda dengan m, maka jumlah sudut P1 dan Q2 kurang dari 180°. Karena telah memenuhi hipotesa dari Aksioma Euclid, maka kesimpulannya berlaku, garis n akan memotong garis l.
Sekarang sebaliknya, diketahui aksioma kesejajaran Hilbert, kita harus membuktikan aksioma Euclid. Kita mulai dari diketahui dua garis l dan m serta dipotong oleh garis transversal t dengan ∠1 + ∠2 < 180°.
Kemudian, karena ∠B1 + ∠B3 = 180°, maka ∠B3 > ∠B'2. Karena kita dapat memindahkan sudut, maka pindahkan ∠3 sehingga membentuk sudut ∠BB'C'. Dapat dibuktikan bahwa garis BC' walaupun diperpanjang tak akan memotong garis l. Perhatikan bahwa garis BC' berbeda dengan m, maka berdasarkan aksioma kesejajaran Hilbert garis m haruslah memotong garis l.
Contoh pembuktian ekivalen yang lebih sederhana dapat dilihat pada contoh berikut.
Contoh 1.9 Misalkan A dan B dua himpunan, buktikan bahwa
A ⊂ B jika dan hanya jika A ∩ B = A
▶ Jawab:
Kita harus membuktikan dua pernyataan, yaitu
- jika A ⊂ B maka A ∩ B = A.
- jika A ∩ B = A maka A ⊂ B.
Sekarang kita buktikan pernyataan pertama. Dengan asumsi bahwa A ⊂ B, kita harus membuktikan A ∩ B = A. Untuk itu kita harus membuktikan bahwa
A ∩ B ⊂ A dan A ⊂ A ∩ B (3)
Yang pertama mudah, karena untuk sebarang himpunan A dan B berlaku
A ∩ B ⊂ A
Yang kedua, karena A ⊂ B, maka
A ∩ A ⊂ B ∩ A
dan ruas kiri sama dengan A, sedangkan ruas kanan sama dengan A ∩ B. Jadi kita telah membuktikan (3).
Selanjutnya, kita buktikan pernyataan kedua. Dengan asumsi A ∩ B = A, kita harus membuktikan bahwa A ⊂ B. Untuk ini, ambillah sebarang x ∈ A. Kemudian, karena A ∩ B = A, maka x ∈ A ∩ B. Pernyataan terakhir mengatakan bahwa
x ∈ A dan x ∈ B
Khususnya x ∈ B. Jadi untuk sebarang x ∈ A, kita telah membuktikan bahwa x ∈ B. Ini mengatakan bahwa A ⊂ B.
■
|
BACA JUGA:
|
|
Demikian pembahasan tentang Bukti dengan Contoh Penyangkal dan Membuktikan Pernyataan Ekivalen. Silahkan untuk berkunjung kembali dikarenakan akan selalu ada update terbaru tentang Tips, Soal, Pembahasan, dan lain-lainnya 😊😄🙏. Silahkan juga untuk memilih dan mendiskusikan di tempat postingan pada kolom komentar yang Anda pilih supaya semakin bagus diskusi pada setiap postingan. Diperbolehkan request di kolom komentar pada postingan ini tentang bidang yang lain atau bagian yang lainnya, yang sekiranya belum ada di website sini. Terima kasih banyak sebelumnya 👍. Semoga bermanfaat dan berkah untuk kita semua. Aaamiiinnn 👐👐👐
Jangan lupa untuk SUBSCRIBE 👪 (Klik lonceng di bawah-kanan layar Anda) dan berikan komentar 💬 atau masukan serta share 👫 postingan ini ke teman-teman untuk berkembangnya https://www.bantalmateri.com/ ini 😀. Terima kasih dan semoga bermanfaat. 😋😆
No comments:
Post a Comment