bantalmateri.com – Berharap kalian sudah membaca pada postingan sebelumnya mengenai Metode Pembuktian Matematika ya. Hal tersebut supaya tahu dahulu bagaimana teori mengenai Metode Pembuktian Matematika tersebut. Secara ringkasnya, metode pembuktian matematika yang sudah dijelaskan sebelumnya mengenai metode pembuktian langsung, metode pembuktian tak langsung dan metode pembuktian dengan kontradiksi. Apabila kalian sudah tahu hal-hal tersebut, mari kita berlanjut kepada contoh soal-soal berikut ini.
Persoalan I
Pembuktian langsung
Jika n bilangan bulat ganjil, maka n2 bilangan bulat ganjil.
Buktikan pernyataan ini!
▶ Jawab:
Misalkan n bilangan bulat ganjil. Dengan demikian kita dapat menuliskan
n = 2k + 1
dengan k suatu bilangan bulat. Oleh karena itu,
|
n2
|
=
|
( 2k +
1 )2
|
|
|
=
|
4k2 +
4k + 1
|
|
|
=
|
2 ( 2k2 +
2k ) + 1
|
Karena n2 dapat dituliskan sebagai bilangan genap (perkalian dengan 2) ditambah 1, maka n2 merupakan bilangan ganjil.
■
Persoalan II
Pembuktian tak langsung
Jika n2 bilangan genap, maka n bilangan genap.
Buktikan pernyataan ini!
▶ Jawab:
Kita akan membuktikan pernyataan di atas dengan bukti tak langsung, artinya kita ubah pernyataan tersebut dengan bentuk ekivalennya, yaitu
Jika n ganjil maka n2 ganjil
Pertanyaan tersebut sudah dibuktikan pada Contoh 1.
■
|
BACA JUGA:
|
|
Persoalan III
Buktikan pernyataan berikut.
Jika n2 habis dibagi 3 maka n habis dibagi 3.
▶ Jawab:
- Pembuktian Langsung
- Pembuktian tak langsung
Karena 3 bilangan prima, maka selalu ada bilangan bulat p dan q sehingga,
pn + 3q = 1
Kalikan ini dengan n, maka pn2 + 3qn = n. Ruas kiri persamaan ini habis dibagi 3, maka ruas kanan juga habis dibagi 3.
Kita membuktikan bahwa n tidak habis dibagi 3 maka n2 tidak habis dibagi 3. Karena n tidak dibagi 3 maka n = 3p + 1 atau n = 3p + 2 untuk suatu bilangan bulat p. Jika n = 3p + 1, maka
|
n2
|
=
|
( 3p +
1 )2
|
|
|
=
|
3p2 +
6p + 1
|
|
|
=
|
3 ( 3p2 +
2p ) + 1
|
Juga tidak habis dibagi 3.
Hal yang serupa untuk n = 3p + 2 juga berlaku, dan pembuktian diserahkan kepada pembaca ya. Bisa ditulisakan di kolom komentar 😄😄
■
Bilangan asli n disebut bilangan sempurna jika n dapat ditulis sebagai jumlah (berbeda) dari pembaginya yang lebih kecil. Sebagai contoh, pembagi yang lebih kecil dari 6 adalaj 1, 2, dan 3. Karena 6 = 1 + 2 + 3, maka dalam hal ini 6 disebut bilangan sempurna. dengan demikian pula 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 merupakan contoh bilangan sempurna.
Kita juga telah mengenal bilangan prima yaitu bilangan bulat yang habis dibagi hanya oleh 1 dan bilangan itu sendiri. Dengan kata lain, bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai duaa pembagi bilangan bulat positif. bilangan 1 tidak termasuk dalam bilangan prima, karena ia hanya mempunyai 1 pembagi bilangan bulat positif.
Persoalan IV
Pembuktian tak langsung
Jika n bilangan sempurna maka n bukan bilangan prima.
Buktikan pernyataan ini!
▶ Jawab:
Pernyataan yang akan dibuktikan dapat ditulis sebagai
Jika n blangan prima maka n bukan bilangan sempurna
Kita akan membuktikan pernyataan terakhir dengan cara langsung. Kita mulai dengan, misalkan n bilangan prima. Pembagi yang lebih kecil dari n hanyalah 1, dan karena n bilangan prima n ≠ 1, maka n tidak merupakan jumlah dari pembagi lebih kecilnya. Dengan demikian n bukan bilangan sempurna.
Jadi, kita telah membuktikan pernyataan yang dimana Jika n bilangan sempurna, maka n bukan bilangan prima.
■
Persoalan V
Pembuktian dengan kontradiksi
Jika r bilangan real dan r2 = 2, maka r bilangan irrasional (bukan pecahan).
Buktikan pernyataan ini!
▶ Jawab:
Untuk membuktikan ini dengan cara kontradiksi, maka asumsikan bahwa
- Pernyataan r2 = 2.
- Pernyataan kesimpulan salah, yang benar r bilangan rasional.
Oleh karena itu, berdasarkan asumsi bahwa r bilangan rasional, maka r dapat dituliskan sebagai r = p / q dengan p, q bilangan bulat dengan pembagi bersama terbesar dari p dan q adalah 1 serta memenuhi
( p / q )2 = 2 atau p2 = 2q2 (2)
Karena ruas kanan merupakan bilangan genap, berdasarkan Contoh 2, maka ruas kiri juga merupakan bilangan genap. Dengan demikian, p juga genap. Tuliskan p = 2k dengan k suatu bilangan bulat lain. Gantikan ini pada persamaan (2), untuk memperoleh
|
( 2k )2
|
=
|
2q2
|
|
2k2
|
=
|
q2
|
Akibatnya, ruas kanan juga genap, maka q juga genap.
Kesimpulannya, p dan q bilangan genap. Hal ini kontradiksi dengan anggapan bahwa pembagi bersama terbesar dari p dan q adalah 1.
■
Persoalan VI
Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat x > 1, y > 1, dan z > 1 sehingga
x! + y! = z!
Buktikan pernyataan ini!
▶ Jawab:
Kita akan membuktikan dengan cara kontradiksi. Andaikan ada bilangan bulat x, y, z yang memenuhi syarat di atas. dalam hal ini z > x dan z > y. Dengan demikian x! habis membagi z!. Karena y! = z! – x!, maka x! habis membagi y!. Dengan cara serupa, kita dapat membuktikan bahwa y! habis membagi x!. Oleh karena itu, x! = y!. Akibatnya, berdasarkan yang diketahui, maka
2 ( x! ) = z!
Tetapi ini tidak mungkin sebab
2 ( x! ) < ( x + 1 ) x! = ( x + 1 )! ≤ z! atau 2 ( x! ) < z!
Sebagai catatan, karena x < z, maka x + 1 ≤ z.
■
|
BACA JUGA:
|
|
|
Metode Pembuktian untuk p → q
|
||
|
Langsung
|
Tak Langsung
|
Dengan Kontradiksi
|
|
Mulai p
|
Mulai ~ q
|
Mulai p dan ~ q
|
|
↓
Langkah-langkah
Logika
↓
|
↓
Langkah-langkah
Logika
↓
|
↓
Langkah-langkah
Logika
↓
|
|
Simpulkan q
|
Simpulkan ~ p
|
Simpulkan (r dan ~ r)
|
Persoalan VII
Buktikan bahwa tidak ada bilangan prima a, b dan c yang memenuhi a3 + b3 = c3.
Buktikan pernyataan ini!
▶ Jawab:
Pernyataan di atas dapat ditulis, jika a3 + b3 = c3, maka a, b dan c bukan bilangan prima. Atau jika a, b dan c bilangan prima, maka a3 + b3 ≠ c3. Kita akan membuktikan pernyataan terakhir dengan kontradiksi. Jadi, diketahui
- Misalkan a, b dan c bilangan prima dan
- a3 + b3 = c3.
Kita akan mencari kontradiksi dengan memandang berbagai kasus berikut:
- Kasus I
- Kasus II
Misalkan a dan b bilangan prima ganjil, maka a3, b3 ganjil dan c3 = a3 + b3 merupakan bilangan genap. Dapat dibuktikan bahwa c bilangan genap juga. Karena c bilangan prima, maka c = 2. Tetapi ini tidak mungkin, karena a dan b bilangan yang lebih besar dari 2.
Misalkan salah satu dari a dan b prima dan genap, tanpa mengurang keumuman misalkan b prima dan genap atau b = 2. dengan demikian
|
b3
|
=
|
8 = c3
– a3
|
|
|
=
|
( c
– a ) ( c2 + ca + a2 )
|
Perhatikan bahwa c ≠ a. Karena a dan c bilangan prima, maka a ≥ 2 dan c ≥ 2. Ini berarti bahwa c2 + ca + a2 ≥ 12. Dengan demikian | c3 – a3 | ≥ 12. Bertentangan dengan nilai b3 = 8 = c3 – a3.
Jadi, kita telah membuktikan yang diminta.
■
Persoalan VIII
Jika segitiga siku-siku XYZ mempunyai sisi tegak x, y, dan sisi miring z mempunyai luas z2 / 4, maka segitiga XYZ sama kaki.
Buktikan pernyataan ini!
▶ Jawab:
Kita akan membuktikan dengan cara langsung. Misalkan luas segitiga adalah
L = z2 / 4
Karena x, y sisi tegak, maka
L = z2 / 4 = xy / 2 ekivalen dengan z2 = 2xy
Menurut hukum Phytagoras, z2 = x2 + y2. Jadi, kesamaan di atas sama dengan
x2 + y2 = 2xy
Berikut ini ekivalen
x2 + y2 – 2xy = ( x – y )2 = 0
Kesamaan ini memberikan nilai x = y. Dengan demikian △XYZ sama kaki.
■
|
BACA JUGA:
|
|
Demikian pembahasan tentang Penyelesaian Soal dari Memahami Metode Pembuktian Matematika. Silahkan untuk berkunjung kembali dikarenakan akan selalu ada update terbaru tentang Tips, Soal, Pembahasan, dan lain-lainnya 😊😄🙏. Silahkan juga untuk memilih dan mendiskusikan di tempat postingan pada kolom komentar yang Anda pilih supaya semakin bagus diskusi pada setiap postingan. Diperbolehkan request di kolom komentar pada postingan ini tentang bidang yang lain atau bagian yang lainnya, yang sekiranya belum ada di website sini. Terima kasih banyak sebelumnya 👍. Semoga bermanfaat dan berkah untuk kita semua. Aaamiiinnn 👐👐👐
Jangan lupa untuk SUBSCRIBE 👪 (Klik lonceng di bawah-kanan layar Anda) dan berikan komentar 💬 atau masukan serta share 👫 postingan ini ke teman-teman untuk berkembangnya https://www.bantalmateri.com/ ini 😀. Terima kasih dan semoga bermanfaat. 😋😆
Haloooo
ReplyDeleteHallo juga. Selamat berkunjung dan saya tunggu kehadiranya kembali. Semoga artikel ini bermanfaat untuk Anda 🙏
Delete