0

Rangkuman dan Cara Cepat || Mengenali Tujuan Perantara, Mengubah Menjadi Soal yang Ekivalen, Bekerja Melangkah Mundur pada Strategi untuk Pemecahan Masalah

Mengenali Tujuan Perantara, Mengubah Menjadi Soal yang Ekivalen, Bekerja Melangkah Mundur pada Strategi untuk Pemecahan Masalah

MENGENALI TUJUAN PERANTARA

bantalmateri.com – Banyak masalah di matematika maupun di kehidupan yang mempunyai jawaban atau penyelesaian yang bertahap. Kita harus dapat melihat tahapan ini.

Contoh 1

Tuliskan angka 1 sampai dengan 9 pada kotak berikut agar jumlah setiap baris, jumlah setiap kolom, dua diagonal utama adalah sama.
Mengenali Tujuan Perantara
Susunan ini disebut persegi ajaib.
▶ Jawab:
  1. Memahami soal
    2. Kita perlu meletakkan bilangan 1, 2, 3, ..., 9 di kotak-kotak kecil, setiap kotak berisi angka berbeda sehingga jumlah setiap baris, kolom dan dua diagonal utama sama.
  2. Merencanakan strategi
    3. Sebelum kita dapat meletakkan bilangan tersebut, maka kita harus mengetahui berapa jumlah tiap baris, kolom dan dua diagonal utama. Ini merupakan tujuan perantara dari masalah di atas. Jumlah ketiga baris menggunakan angka berbeda dari 1, 2, ..., 9 sama dengan jumlah
    1 + 2 + … + 9
    =
    9 × 10
    =
    45
    2
    Kemudian, jumlah satu baris adalah 1/3 jumlah di atas, diperoleh 15.
    Selanjutnya, kita dapat menganalisa sebagai berikut. Di kotak tengah, terpakai 4 kali, yaitu dua diagonalutama, satu kolom dan satu baris Sedangkan angka di ujung akan dipakai sebanyak 3 kali (diagonal utama, satu kolom dan satu baris). Oleh karena itu tujuan perantara kedua adalah menuliskan 15 sebagai jumlah tiga bilangan. Di kotak tengah kita isi dengan bilangan yang terpakai 4 kali dalam penjumlahan untuk memperoleh 15.
  3. Melaksanakan strategi
    4. Kita harus menuliskan bilangan 15 sebagai jumlah dari 3 bilangan di {1, 2, ..., 9}. Secara sistematis, hasilnya adalah
    15
    =
    9 + 5 + 1
    15
    =
    9 + 4 + 2
    15
    =
    8 + 6 + 1
    15
    =
    8 + 5 + 2
    15
    =
    8 + 4 + 3
    15
    =
    7 + 6 + 2
    15
    =
    7 + 5 + 3
    15
    =
    6 + 5 + 4
    dan kombinasi yang hanya berbeda urutan dengan jumlah di atas. Kemudian, kita hitung jumlah dari masing-masing angka.
    Angka
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    Banyak angka muncul dalam penjumlahan
    2
    3
    2
    3
    4
    3
    2
    3
    2
    Bilangan yang muncul empat kali (yaitu 5) harus terletak di tengah. Sedangkan bilangan yang muncul tiga kali adalah 2,4,6,8 harus muncul di ujung kotak.
    Mengenali Tujuan Perantara
  4. Melihat kembali
    5. Persegi ajaib ini mempunyai banyak kemungkinan karena susunan 2, 4, 6, 8 di ujung mempunyai kemungkinan lebih dari satu.
■

Latihan 1

  1. Tuliskan semua kemungkinan susunan persegi ajaib di atas.
  2. Buatlah persegi ajaib untuk ukuran 4 × 4.
  3. Carilah persegi ajaib berukuran 3 × 3 dengan menggunakan angka 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

Semoga Bermanfaat 😁


MENGUBAH MENJADI SOAL YANG EKIVALEN

bantalmateri.com – Dengan mengubah soal menjadi bentuk yang lain, seringkali kita dapat menyelesaikan masalah yang dicari dengan lebih mudah.

Contoh 2

Tunjukkan bahwa x7 – 2x5 + 10x2 – 1 = 0 tidak mempunyai akar lebih besar 1.
▶ Jawab:
  1. Memahami soal
    2. Kita harus memperlihatkan bahwa akar-akar persamaan di atas (jika ada) harus lebih kecil atau sama dengan 1.
  2. Menentukan strategi
    3. Jika bekerja dengan batas 1 menjadi rumit, soal dapat lebih disederhanakan jika kita bekerja dengan batas nol.
  3. Melakukan strategi
    4. Dengan menulis y = x – 1, atau x = y + 1, maka soal di atas dapat ditulis menjadi
    (y + 1)7 – 2(y + 1)5 + 10(y + 1)2 – 1 = 0
    atau
    y7 + 7y6 + 19y5 + 25y4 + 15y3 + 11y2 + 17y + 8 = 0
    Karena semua koefisiennya positif, maka persamaan terakhir tidak mungkin mempunyai akar positif. Dengan kata lain, persamaan dalam x tidak mungkin mempunyai akar lebih besar dari 1.
  4. Melihat kembali
    5. Dengan mengganti variabel, soal menjadi lebih sederhana.
■

Contoh 3

Carilah turunan ke n dari f(x) = 1/1 – x2.
▶ Jawab:
Soal ini tergolong mudah, yaitu dengan menuliskan f(x) dalam ekpresi yang ekivalen
Mengubah Menjadi Soal yang Ekivalen
akan diperoleh
Mengubah Menjadi Soal yang Ekivalen
yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika.
■

Latihan 2

  1. Buktikan bahwa jumlah bilangan pada baris ke-n di segitiga Pascal adalah 2n.
    2. Penuntun : Ubah menjadi soal menyusun baris ke-n.
  2. Suatu bilangan asli dapat dituliskan sebagai jumlah dari satu atau lebih bilangan asli. Dengan memperhatikan urutan, maka bilangan 3 dapat dituliskan sebagai 3, 1+2, 2+1 dan 1+1+1. Perlihatkan bahwa sebarang bilangan asli n dapat dituliskan dalam 2n–1 cara.
    3. Penuntun : Ubah masalah ini menjadi memilih beberapa angka satu dalam penjumlahan
    Mengubah Menjadi Soal yang Ekivalen

Semoga Bermanfaat 😁


BEKERJA MELANGKAH MUNDUR

bantalmateri.com – Kita akan bekerja mulai dari yang diketahui dan mengubah menjadi bentuk yang kita kehendaki atau sudah kita kenal.

Contoh 4

Pada permainan oleh dua orang tersedia 15 koin. Setiap orang yang bermain dapat mengambil koin 1, 2, atau 3 dari meja. Orang yang mengambil terakhir adalah pemenangnya. Susun suatu strategi agar kita menang.
▶ Jawab:
  1. Memahami soal
    2. Kita harus menyusun suatu strategi agar pada saat akhir sisa koin adalah 1, 2 atau 3. Sehingga kita dapat menang.
  2. Memilih strategi
    3. Kita harus menentukan langkah awal, tetapi lebih baik kalau mulai dari akhir yaitu sudah terjadi koin yang lebih sedikit.
  3. Melakukan strategi
    4. (a) Bagaimana situasi akhir sehingga kita menang? Sisa koin tinggal 1, 2 atau 3.
    (b) Bagaimana caranya agar kita menghindari situasi ini untuk lawan. Sisa koin sebelumnya haruslah 4. Kemudian, lawan mengambil atau 3 dan memberikan sisa 3, 2 atau 1.
    (c) Bagaimana kita memberikan sisa 4? Kalau kita memberikan sisa 5, 6 dan 7 maka lawan dapat memberikan sisa 4 kepada kita sehingga ia akan menang. Oleh karena itu, kita harus memberi sisa 8.
    (d) Bagaimana kita memberikan sisa 8? Kalau kita memberikan sisa 9, 10 dan 11 maka lawan dapat memberikan sisa 8 kepada kita sehingga ia akan menang. Oleh karena itu kita harus memberi sisa 12.
    (e) Bagaimana caranya kita dapat memberi sisa 12? Saya ambil yang pertama dan memberikan lawan sisa 12, kemudian sisa 8, atau 4.
  4. Melihat kembali
    5. Kunci permainan ini adalah sisa 12, 8, 4.
■

Contoh 5

Saya adalah bilangan. Dua kali saya dan kemudian ditambah 12 memberikan nilai 50. Siapakah saya.
▶ Jawab:
  1. Memahami soal
    2. Kita harus mencari bilangan yang memenuhi suatu proses dan hasil akhir dari proses diketahui.
  2. Memilih strategi
    3. Kita dapat mencari bilangan tersebut dengan mengikuti secara mundur proses yang diberikan.
  3. Melakukan strategi
    4. Kita berhadapan dengan situasi
    Bekerja Melangkah Mundur
    Kita mulai dari belakang
    Bekerja Melangkah Mundur
    Kemudian terakhir, karena kotak kedua diperoleh dari kotak pertama dengan mengalikan 2, maka isi kotak pertama adalah setengah kotak kedua. Dengan demikian isi dari kotak pertama adalah 19.
  4. Melihat kembali
    5. Kita dapat menyelesaikan soal di atas dengan variabel. Tetapi dengan cara ini lebih mudah dipahami.
■
Mulai saat ini penulisan akan kembali seperti biasa. Tetapi para pembaca harap menyadari bahwa proses di atas tetap dijalankan.

Contoh 6

Pada turnamen setengah kompetisi diikuti oleh n pemain dengan n > 1. Setiap pemain bertemu sekali dengan setiap pemain lainnya dengan hasil kalah atau menang, dan tak ada posisi berimbang. Misalkan Wr dan Lr masing-masing jumlah menang dan kalah dari pemain ke-r, buktikan
Bekerja Melangkah Mundur
▶ Jawab:
Misalkan persamaan tersebut benar maka
Bekerja Melangkah Mundur
Tetapi kita mempunyai Wr + Lr = n – 1 untuk setiap r, maka
Bekerja Melangkah Mundur
Persamaan terakhir ini benar karena jumlah yang dimenangkan oleh semua pemain sama dengan jumlah kekalahan oleh semua pemain. Bukti dari soal dapat dibuat dengan membalikkan proses di atas.
■

Contoh 7

Buktikan sifat Ptolemaeus pada segi empat tali busur, yaitu perkalian diagonal segi empat tali busur sama dengan jumlah perkalian sisi yang berhadapan, yaitu pq = ac + bd.
Bekerja Melangkah Mundur
▶ Jawab:
Kita mulai dengan bentuk yang diketahui
Bekerja Melangkah Mundur
Tulis x = ac/q dan y = bd/q. Jadi kita harus membagi diagonal p menjadi dua garis yang masing-masing panjangnya x dan y.
Sekarang perhatikan
Bekerja Melangkah Mundur
Sisi q dan a terletak pada segitiga ABD dan mereka membentuk ∠ABD. Perhatikan bahwa ∠ABD = ∠ACD. Jika kita letakkan ∠BAD pada ∠E sehingga ∠CED = ∠BAD atau ∠ADB = ∠CDE, maka
ΔABD sebangun dengan ΔCDE
Bekerja Melangkah Mundur
Akibatnya
Bekerja Melangkah Mundur
Sekarang perhatikan ΔBDC dan ΔAED. Sudut CAD = ∠DBC dan ∠ADE = ∠BDC. Jadi ΔBDC sebangun ΔAED. Akibatnya
Bekerja Melangkah Mundur
Karena CE = x dan AE = y, maka AC = x + y atau
Bekerja Melangkah Mundur
■

Contoh 8

Untuk sembarang bilangan positif a, b dan c, buktikan bahwa berlaku
a2+ b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
▶ Jawab:
Dengan mengasumsikan bahwa pertidaksamaan benar, dan kemudian setiap sisi dikalikan dengan dua, maka diperoleh
2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
Pindahkan sehingga menjadi satu suku
a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 ≥ 0
atau
(a – a)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0
Karena bagian terakhir ini benar untuk sembarang bilangan a, b dan c, maka bagian di atas juga sudah benar.
■

Latihan 10

  1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real x, y berlaku
    2. 2xy ≤ x2 + y2
  2. Misalkan a, b dan c menyatakan sisi dari suatu segitiga ABC, tunjukkan bahwa
    3. 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)2 ≤ 4(ab + bc + ca)
  3. Misalkan a bilangan tertentu, yang memenuhi 0 < α < π dan misalkan
    4. Bekerja Melangkah Mundur
    Buktikan bahwa F konstan.

Semoga Bermanfaat 😁


Demikian penjelasan dari Mengenali Tujuan Perantara, Mengubah Menjadi Soal yang Ekivalen, Bekerja Melangkah Mundur pada Strategi untuk Pemecahan Masalah. Jika ada tambahan untuk penjelasan tentang Mengenali Tujuan Perantara, Mengubah Menjadi Soal yang Ekivalen, Bekerja Melangkah Mundur pada Strategi untuk Pemecahan Masalah pada bentuk lainnya dan bahkan ada yang bisa menjawab soal pada LATIHAN, maka dipersilahkan mengisi pendapatnya pada kolom komentar. Semoga materi ini dapat bermanfaat dan begitu pula yang mau belajar bisa dipermudah. Amiinnn 👐👐👐
Silahkan untuk berkunjung kembali dikarenakan akan selalu ada update terbaru tentang Tips, Soal, Pembahasan, dan lain-lainnya 😊😄🙏. Silahkan juga untuk memilih dan mendiskusikan di tempat postingan pada kolom komentar yang Anda pilih supaya semakin bagus diskusi pada setiap postingan. Diperbolehkan request di kolom komentar pada postingan ini tentang bidang yang lain atau bagian yang lainnya, yang sekiranya belum ada di website sini. Terima kasih banyak sebelumnya 👍. Semoga bermanfaat dan berkah untuk kita semua. Aaamiiinnn 👐👐👐
Jangan lupa untuk SUBSCRIBE 👪 (Klik lonceng di bawah-kanan layar Anda) dan berikan komentar 💬 atau masukan serta share 👫 postingan ini ke teman-teman untuk berkembangnya https://www.bantalmateri.com/ ini 😀. Terima kasih dan semoga bermanfaat. 😋😆

Ahmad Qolfathiriyus Firdaus

We are bantalmateri.com that utilizes the internet and digital media in delivering material, questions and even the form of discussion. In the current generation, online learning methods (commonly called daring) are considered closer to students who are very integrated and difficult to separate from technology. The emergence of technology has also facilitated the implementation of schools even though students and educators alike have to adapt.

No comments:

Post a Comment